Нет, болезнь ребенка во время отпуска не является основанием, чтобы продлевать его.
Согласно статье 124 ТК РФ, отпуск продлевают или переносят на другой срок в случае временной нетрудоспособности работника с учетом его пожеланий. А согласно пункту 1 Порядка выдачи медицинскими организациями листков нетрудоспособности (утвержден приказом Минздравсоцразвития России от 1 августа 2007 г. № 514), документом, удостоверяющим временную нетрудоспособность граждан и подтверждающим их временное освобождение от работы, является листок нетрудоспособности, выдаваемый в том числе при необходимости ухода за больным членом семьи.
Однако больничный лист по уходу не выдается работнику в период ежегодного оплачиваемого отпуска и отпуска без сохранения заработной платы. Об этом сказано в пункте 41 указанного Порядка. Таким образом, оснований для того, чтобы в данной ситуации считать работника нетрудоспособным в период отпуска, у организации нет.