Да, оплачивать.
Как правило, больничный листок выдает и закрывает одно медучреждение. Но при направлении сотрудника на лечение в другую медицинскую организацию новый листок нетрудоспособности (продолжение) выдается тем медицинским учреждением, куда направлен застрахованный (п. 6 Порядка, утв. приказом Минздравсоцразвития России от 29.06.11 № 624н, п. 4 письма ФСС РФ от 14.09.11№ 14-03-11/15-8605).
Это же медицинское учреждение и закрывает больничный листок. При этом в закрытом листке нетрудоспособности пишут номер вновь выданного листка (продолжения), ставят вторую печать и подпись врача медучреждения, в котором закрывают бюллетень.